.RU

4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна - Методика оценки коэффициента товаропроводности территории 18 Оценка...


^ 4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна

Модели [14, 16], которые являются отправной точной данных исследований, описаны в виде дифференциальных уравнений. Таким образом, логично искать формализацию торговли также в классе дифференциальных уравнений. В качестве переменных логично выбрать цену и объем товара в точке географического пространства, а также учитывать возможности его производства, потребления и транспортировки, зависящие от пространственных координат.

Задачей формализации торговых потоков, расчетом оптимальных маршрутов и распределением цен, производства и потребления занимается отдельная дисциплина – пространственная экономика. Моделью, наиболее близкой по сути к поставленной нами задаче, является модель предложенная М.Бекманном [17]. Изложим кратко суть этой модели.

Рассматривается замкнутая территория, на которой может производиться, потребляться и транспортироваться товар, рассматривается задача нахождения оптимальных транспортных путей, минимизирующих транспортные издержки.

Математически задача формулируется следующим образом: рассматриваемая территория – область R с кусочно-гладкой границей, для каждой точки которой определены следующие величины (сохранены обозначения и формулировки Бекманна):


q(x, y) – плотность производства в точке,

u(x, y) – плотность потока товара в точке,

v(x, y) – скорость транспортировки в точке

K(x, y, u) – стоимость транспортировки через точку при заданной u.

(4.1)


Граничные условия:


g(x, y) – значение потока товара на границе по нормали.

(4.2)


Причем считается, что q(x, y) не обязательно положительна, поскольку отражает разность между реальным производством и потреблением в точке, стоимость транспортировки товара K(x, y, u) не зависит от направления потока в точке.

Задача формулируется Бекманном как поиск такого векторного поля φ = φ(x, y), соотвествующий потоку товара, такого, что суммарная стоимость транспортировки минимальна. Очевидно, что при этом | φ | = u.


Вводя обозначение

,

(4.3)


и накладывая ограничения


k(x, y, u) > 0,


(4.4)

,

(4.5)


v(x,y) > 0,

(4.6)



задачу минимизации общих транспортных издержек за единицу времени можно записать в виде




(4.7)


Бекманн показывает, что данная минимизация выполняется при условиях


div(v(x,y)φ(x,y)) = q(x,y) (уравнение неразрывности)

(x,y) - регулярная точка R;


(4.8)

v(x,y)φn(x,y) (поток по нормали к кривой) непрерывен

(x,y)  кривой разрыва vφ;


(4.9)



(x,y) – изолированная особая точка поля φ;


(4.10)

v(x,y)φn(x,y) = g(x,y) (граничные условия)

(x,y)  границе Г .


(4.11)


Для существования решения требуется, чтобы поток товара внутрь области был в точности равен потреблению в этой области




(4.12)


Бекманн доказывает теорему:


Поле транспортировки φ(x,y) эффективно (минимизирует издержки) при заданном производстве q(x,y) и граничных условиях на экспорт g(x,y) тогда и только тогда, когда в дополнение к условиям (4.8 – 4.11) выполняется





в точках регулярности φ, для которых |φ(x,y)| > 0, h – некоторая непрерывная кусочно-гладкая потенциальная функция.

(4.13)


Роль этой потенциальной функции в рассматриваемом случае может играть цена за товар в точке. В более поздней и более известной работе [18] Бекманн при описании модели явно выписывает соотношение для оптимальных потоков:


всюду, где φ ≠ 0

(4.14)


Здесь λ – цена на товар в точке. Фактически соотношение (4.13) является ключевым для всей модели. Экономический смысл его прост: в случае, когда имеют место оптимальные потоки, в каждой точке поток направлен по градиенту цены на товар.

Результат модели Бекманна состоит в том, что при заданных q(x,y), g(x,y) можно рассчитать оптимальные потоки φ(x,y), минимизирующие (в рамках модели) издержки на транспортировку. В частности, он приводит иллюстрацию для случая постоянных издержек


k(x, y) = k

(4.15)


Если имеется некоторое количество точек «производителей» (xi,yi), для которых q(xi,yi) = q0 > 0, а для всех остальных точек q(x,y) = q1 < 0, с учетом (4.12), потоки имеют следующую структуру:




Рис. 1. Структура потоков в модели Бекманна для постоянного k


Таким образом, пространство разбивается на кластеры, каждый из которых «обслуживается» одним производителем.


Описанная модель Бекманна действительно достаточно хорошо вписывается в контекст поставленной нами задачи построения базовой пространственной модели торговли, однако она содержит ряд положений и следствий, которые не вполне удовлетворяют сущности исторических процессов, и должна, таким образом, переработана.

Модель Бекманна создавалась в контексте задач пространственной экономики в предположении рыночного равновесия. С математической точки зрения, рассматривается стационарный случай, для которого логически (из предположения, что в оптимальном случае торговцы не должны получать убытки [18, стр.16]) выводится соотношение (4.14). Историческая же модель должна учитывать эволюцию системы, то есть стационарный случай для нее в корне неприемлем. Спорным местом у Бекманна является рассмотренный им случай, когда имеется единичный конечный источник и равный ему по модулю, но обратный по значению сток


q(x1,y1) = – q(x2, y2),


q(x,y) = 0 всюду, кроме (x1, y1) и (x2, y2).

(4.16)


Кроме того, конфигурация k(x,y) такова, что имеется два пути, абсолютно эквивалентные друг другу по затратам (Рис.2)


Для этих путей имеет место соотношение


φ1 + φ2 = 1 φ3 + φ4 = 1 φ1 = φ3 φ2 = φ4

(4.17)



Рис. 2. Два эквивалентных пути


Бекманн утверждает, что в этом случае решением может быть


φ1 = φ* φ3 = φ* φ2 = 1 - φ* φ4 = 1 - φ*


φ* - произвольное значение: 0 ≤ φ* ≤ 1

(4.18)


Однако из той же модели Бекманна следует, что если сколь угодно мало возмутить значение k(x,y) в какой либо точке одного из путей, например, бесконечно мало увеличить стоимость перевозки в одной точке пути (x0, y0):


k(x0, y0)  k(x0, y0) + ε : (x0, y0)  пути φ2, 0 < ε << 1,

(4.19)


то путь φ2-φ4 сразу перестанет быть оптимальным, и значения потоков должны быть строго


φ1 = 1 φ3 = 1 φ2 = 0 φ4 = 0

(4.20)


Подобная негрубость модели фактически подтверждает тот факт, что модель Бекманна – оптимизационная модель, строящая некоторые идеальные стационарные потоки, и что она не может быть напрямую применена для моделирования реальных процессов. В реальности, субъекты торговли никогда не располагают полной и достаточно точной информацией о значениях k(x,y) во всей области R. Таким образом, малое возмущение (4.19) не может мгновенно изменить поток на конечную величину 1 – φ*.


Таким образом, модель, претендующая на описание реальных исторических процессов, должна дополнять модель Бекманна, вводя нестационарность (наличие эволюции во времени) и грубость (малое изменение результирующих потоков при малом возмущении издержек на транспортировку).


Мы построим такую модель, исходя из несколько других начальных предположений, и вводя другие, более привычные для математической физики обозначения, а затем покажем, как она стыкуется с моделью Бекманна.

4-uchastie-vospitannikov-ctdiyu-v-regionalnih-centr-tvorchestva-detej-i-yunoshestva-publichnij-doklad-direktora-centra.html
4-uchebnaya-model-mikrokompyutera-predislovie.html
4-uchebno-metodicheskie-materiali-po-discipline-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-po-discipline-matematika.html
4-uchebno-metodicheskoe-obespechenie-kursa-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-sociologiya-fizicheskoj-kulturi.html
4-uchebno-tematicheskij-plan-disciplini-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-obuchenie-i-vospitanie-doshkolnikov.html
4-uchet-i-kontrol-vipolneniya-rabot-po-tehnicheskomu-obsluzhivaniyu-i-remontu-gorochnih-ustrojstv-scb.html
  • reading.bystrickaya.ru/malenkie-bogi-melkie-bogi.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prikaz-ot-17-08-2006g-834-ob-itogah-vserossijskogo-zaklyuchitelnogo-festivalya-rossijskaya-studencheskaya-vesna-v-2006-godu.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vneklassnoe-meropriyatie-po-teme-proekt.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/valovoj-nacionalnij-produkt-chast-2.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/konkurs-pri-postuplenii-8-kontaktnaya-informaciya-10-usloviya-osushestvleniya-obrazovatelnogo-processa-11-rezhim-raboti-11-stranica-4.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sahalin-enerdzhi-investment-kompani-ltd.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/osoblivost-nformacjnogo-zabezpechennya-organv-vnutrshnh-sprav-ta-shlyahi-jogo-optimzac.html
  • bystrickaya.ru/voennaya-topografiya.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/vzaimodejstvie-gosdumi-s-federalnimi-organami-vzaimodejstvie-gosdumi-s-federalnimi-organami-4.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/prikaz-1425-ot-28-oktyabrya-2009g-oprovedenii-viii-mezhregionalnoj-nauchno-prakticheskoj-konferencii-informacionnie-i-upravlencheskie-tehnologii-v-zdravoohranenii-12-prikaz-stranica-22.html
  • lecture.bystrickaya.ru/7-kak-list-letyashij-nad-bezdnoyu-ya-padayu-v-neizvestnoe8-prosti.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/vliyanie-vegetativnoj-nervnoj-sistemi-na-techenie-zabolevanij-gortani-aktualnie-voprosi-sovremennogo-estestvoznaniya.html
  • writing.bystrickaya.ru/chernaya-metallurgiya-mira.html
  • lecture.bystrickaya.ru/75-otvetov-k-gosu-kafedri-teoriya-i-praktika-upravleniya-ugtu-upi-chast-2.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-nauchno-issledovatelskij-seminar-aktualnie-problemi-regulirovaniya-mezhdunarodnoj-torgovli-energiej-dlya-napravleniya-080100-68-ekonomika-podgotovki-magistra-avtor-docent.html
  • literatura.bystrickaya.ru/skazka-diana-setterfild-vpervie-na-russkom-trinadcataya-skazka-stranica-30.html
  • universitet.bystrickaya.ru/sushestvennimi-nedostatkami-pri-vipolnenii-zadaniya-s-yavlyayutsya-sleduyushie.html
  • znanie.bystrickaya.ru/akt-o-pravah-cheloveka-1998-goda-rukovodstvo-dlya-departamentov.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-mezhdunarodnie-valyutno-kreditnie-otnosheniya.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-15-predgovor-km-blgarskoto-izdanie.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/privikayu-k-mirnoj-zhizni-kniga-polna-yumora-vnej-net-nepravdi-vnej-ne-priukrashivaetsya-sobstvennaya-zhizn-i-zhizn-voobshe.html
  • thescience.bystrickaya.ru/ii-tehnicheskiespecifikacii-elementovsistem-i.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-disciplini-r14-metodi-radiofizicheskih-izmerenij-po-napravleniyu-011800-radiofizika-nizhnij-novgorod-2011-g.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/kompetenciya-organov-valyutnogo-kontrolya.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vsem-znakomo-radostnoe-chuvstvo-ohvativayushee-cheloveka-pri-priblizhenii-prazdnika-stoit-tolko-zastuchat-tamtamu-zazvuchat-svyashennim-flejtam-ili-zagremet-na-u-stranica-18.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-promishlennoj-bezopasnosti-neftebaz-i-skladov-nefteproduktov-i-obshie-polozheniya-stranica-2.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-nauchnie-i-socialno-ekonomicheskie-problemi-ribolovstva-i-akvakulturi-obshenauchnij-cikl-bazovaya-chast.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/programma-profilnogo-kursa-po-istorii-rossii-s-drevnejshih-vremen-po-xx-vek.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rol-zapadnih-fondov-v-razvitii-rossijskoj-nauki-rossijskaya-nauka-v-novih-usloviyah-rol-zarubezhnih-fondov.html
  • lecture.bystrickaya.ru/42-rekomenduemie-programmnie-sredstva-i-kompyuternie-sistemi-obucheniya-i-kontrolya-znanij-studentov.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-uchebnaya-programma-po-discipline-osnovi-informacionnoj-deyatelnosti-vracha-s-ispolzovaniem-inostrannogo-yazika.html
  • testyi.bystrickaya.ru/antisovetskie-zagovori-i-myatezhi-pravda-o-vragah-naroda.html
  • shkola.bystrickaya.ru/upravlenie-riskami-v-kommercheskih-bankah-chast-11.html
  • studies.bystrickaya.ru/gosudarstvennoe-stimulirovanie-investicij-v-rossii.html
  • composition.bystrickaya.ru/plan-sushnost-i-znachenie-zakupochnoj-raboti-poryadok-zaklyucheniya-dogovora-postavki-ego-soderzhanie.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.