.RU

4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна - Методика оценки коэффициента товаропроводности территории 18 Оценка...


^ 4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна

Модели [14, 16], которые являются отправной точной данных исследований, описаны в виде дифференциальных уравнений. Таким образом, логично искать формализацию торговли также в классе дифференциальных уравнений. В качестве переменных логично выбрать цену и объем товара в точке географического пространства, а также учитывать возможности его производства, потребления и транспортировки, зависящие от пространственных координат.

Задачей формализации торговых потоков, расчетом оптимальных маршрутов и распределением цен, производства и потребления занимается отдельная дисциплина – пространственная экономика. Моделью, наиболее близкой по сути к поставленной нами задаче, является модель предложенная М.Бекманном [17]. Изложим кратко суть этой модели.

Рассматривается замкнутая территория, на которой может производиться, потребляться и транспортироваться товар, рассматривается задача нахождения оптимальных транспортных путей, минимизирующих транспортные издержки.

Математически задача формулируется следующим образом: рассматриваемая территория – область R с кусочно-гладкой границей, для каждой точки которой определены следующие величины (сохранены обозначения и формулировки Бекманна):


q(x, y) – плотность производства в точке,

u(x, y) – плотность потока товара в точке,

v(x, y) – скорость транспортировки в точке

K(x, y, u) – стоимость транспортировки через точку при заданной u.

(4.1)


Граничные условия:


g(x, y) – значение потока товара на границе по нормали.

(4.2)


Причем считается, что q(x, y) не обязательно положительна, поскольку отражает разность между реальным производством и потреблением в точке, стоимость транспортировки товара K(x, y, u) не зависит от направления потока в точке.

Задача формулируется Бекманном как поиск такого векторного поля φ = φ(x, y), соотвествующий потоку товара, такого, что суммарная стоимость транспортировки минимальна. Очевидно, что при этом | φ | = u.


Вводя обозначение

,

(4.3)


и накладывая ограничения


k(x, y, u) > 0,


(4.4)

,

(4.5)


v(x,y) > 0,

(4.6)



задачу минимизации общих транспортных издержек за единицу времени можно записать в виде




(4.7)


Бекманн показывает, что данная минимизация выполняется при условиях


div(v(x,y)φ(x,y)) = q(x,y) (уравнение неразрывности)

(x,y) - регулярная точка R;


(4.8)

v(x,y)φn(x,y) (поток по нормали к кривой) непрерывен

(x,y)  кривой разрыва vφ;


(4.9)



(x,y) – изолированная особая точка поля φ;


(4.10)

v(x,y)φn(x,y) = g(x,y) (граничные условия)

(x,y)  границе Г .


(4.11)


Для существования решения требуется, чтобы поток товара внутрь области был в точности равен потреблению в этой области




(4.12)


Бекманн доказывает теорему:


Поле транспортировки φ(x,y) эффективно (минимизирует издержки) при заданном производстве q(x,y) и граничных условиях на экспорт g(x,y) тогда и только тогда, когда в дополнение к условиям (4.8 – 4.11) выполняется





в точках регулярности φ, для которых |φ(x,y)| > 0, h – некоторая непрерывная кусочно-гладкая потенциальная функция.

(4.13)


Роль этой потенциальной функции в рассматриваемом случае может играть цена за товар в точке. В более поздней и более известной работе [18] Бекманн при описании модели явно выписывает соотношение для оптимальных потоков:


всюду, где φ ≠ 0

(4.14)


Здесь λ – цена на товар в точке. Фактически соотношение (4.13) является ключевым для всей модели. Экономический смысл его прост: в случае, когда имеют место оптимальные потоки, в каждой точке поток направлен по градиенту цены на товар.

Результат модели Бекманна состоит в том, что при заданных q(x,y), g(x,y) можно рассчитать оптимальные потоки φ(x,y), минимизирующие (в рамках модели) издержки на транспортировку. В частности, он приводит иллюстрацию для случая постоянных издержек


k(x, y) = k

(4.15)


Если имеется некоторое количество точек «производителей» (xi,yi), для которых q(xi,yi) = q0 > 0, а для всех остальных точек q(x,y) = q1 < 0, с учетом (4.12), потоки имеют следующую структуру:




Рис. 1. Структура потоков в модели Бекманна для постоянного k


Таким образом, пространство разбивается на кластеры, каждый из которых «обслуживается» одним производителем.


Описанная модель Бекманна действительно достаточно хорошо вписывается в контекст поставленной нами задачи построения базовой пространственной модели торговли, однако она содержит ряд положений и следствий, которые не вполне удовлетворяют сущности исторических процессов, и должна, таким образом, переработана.

Модель Бекманна создавалась в контексте задач пространственной экономики в предположении рыночного равновесия. С математической точки зрения, рассматривается стационарный случай, для которого логически (из предположения, что в оптимальном случае торговцы не должны получать убытки [18, стр.16]) выводится соотношение (4.14). Историческая же модель должна учитывать эволюцию системы, то есть стационарный случай для нее в корне неприемлем. Спорным местом у Бекманна является рассмотренный им случай, когда имеется единичный конечный источник и равный ему по модулю, но обратный по значению сток


q(x1,y1) = – q(x2, y2),


q(x,y) = 0 всюду, кроме (x1, y1) и (x2, y2).

(4.16)


Кроме того, конфигурация k(x,y) такова, что имеется два пути, абсолютно эквивалентные друг другу по затратам (Рис.2)


Для этих путей имеет место соотношение


φ1 + φ2 = 1 φ3 + φ4 = 1 φ1 = φ3 φ2 = φ4

(4.17)



Рис. 2. Два эквивалентных пути


Бекманн утверждает, что в этом случае решением может быть


φ1 = φ* φ3 = φ* φ2 = 1 - φ* φ4 = 1 - φ*


φ* - произвольное значение: 0 ≤ φ* ≤ 1

(4.18)


Однако из той же модели Бекманна следует, что если сколь угодно мало возмутить значение k(x,y) в какой либо точке одного из путей, например, бесконечно мало увеличить стоимость перевозки в одной точке пути (x0, y0):


k(x0, y0)  k(x0, y0) + ε : (x0, y0)  пути φ2, 0 < ε << 1,

(4.19)


то путь φ2-φ4 сразу перестанет быть оптимальным, и значения потоков должны быть строго


φ1 = 1 φ3 = 1 φ2 = 0 φ4 = 0

(4.20)


Подобная негрубость модели фактически подтверждает тот факт, что модель Бекманна – оптимизационная модель, строящая некоторые идеальные стационарные потоки, и что она не может быть напрямую применена для моделирования реальных процессов. В реальности, субъекты торговли никогда не располагают полной и достаточно точной информацией о значениях k(x,y) во всей области R. Таким образом, малое возмущение (4.19) не может мгновенно изменить поток на конечную величину 1 – φ*.


Таким образом, модель, претендующая на описание реальных исторических процессов, должна дополнять модель Бекманна, вводя нестационарность (наличие эволюции во времени) и грубость (малое изменение результирующих потоков при малом возмущении издержек на транспортировку).


Мы построим такую модель, исходя из несколько других начальных предположений, и вводя другие, более привычные для математической физики обозначения, а затем покажем, как она стыкуется с моделью Бекманна.

4-uchastie-vospitannikov-ctdiyu-v-regionalnih-centr-tvorchestva-detej-i-yunoshestva-publichnij-doklad-direktora-centra.html
4-uchebnaya-model-mikrokompyutera-predislovie.html
4-uchebno-metodicheskie-materiali-po-discipline-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-po-discipline-matematika.html
4-uchebno-metodicheskoe-obespechenie-kursa-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-sociologiya-fizicheskoj-kulturi.html
4-uchebno-tematicheskij-plan-disciplini-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-obuchenie-i-vospitanie-doshkolnikov.html
4-uchet-i-kontrol-vipolneniya-rabot-po-tehnicheskomu-obsluzhivaniyu-i-remontu-gorochnih-ustrojstv-scb.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/moment-istini-v-avguste-sorok-chetvertogo-stranica-3.html
  • essay.bystrickaya.ru/cikldo-uhtinskijgosudarstennij.html
  • report.bystrickaya.ru/ispolzovanie-resursov-uchebnoe-posobie-samara-2007-udk-331-108-4075-8-bbk-3307.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/referat-globalnaya-kompyuternaya-set-internet.html
  • desk.bystrickaya.ru/organ-za-zaslugi-pered-otechestvom-itogi-suhova-svetlana-10-10-2005-041-str-12-11-priem-kandidatov-okonchen-12.html
  • diploma.bystrickaya.ru/zhurnal-dlya-stranica-3.html
  • crib.bystrickaya.ru/kadri-i-proizvoditelnost-truda.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prilozhenie-a-a-lazarevskij-avtor-ekspert-partii-yabloko-pochyotnij-chlen-rossijskogo-obshestva-ocenshikov-s-1994.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-3vse-eto-est-v-ume-allan-i-barbara-piz.html
  • literatura.bystrickaya.ru/respublika-31-166-21-avgusta-2009--ne-protivostoyanie-a-konkurenciya-monitoring-pechatnih-smi-za-period-iyul-2009g.html
  • student.bystrickaya.ru/111-identifikaciya-programma-organizacii-obedinennih-nacij-po-okruzhayushej-srede-prodovolstvennaya-i-selskohozyajstvennaya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/oborudovanie-i-tehnologiya-eho-impulsnogo-metoda-ultrazvukovoj-defektoskopii-chast-4.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/programma-kursa-prestupleniya-protiv-gosudarstvennoj-vlasti-uchebnaya-programma-disciplini-prestupleniya-protiv.html
  • school.bystrickaya.ru/gendernie-stereotipi-v-ispanskoj-sportivnoj-presse.html
  • lesson.bystrickaya.ru/razdel-5-vneshnie-ekonomicheskie-svyazi-uchebnoe-posobie-rekomendovano-nauchno-metodicheskim-sovetom-universiteta-belgorod.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-shestayashepot-nagualya-kniga-chetvertaya.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/85-poryadok-obrabotki-ishodyashih-dokumentov-instrukciya-opredelyaet-edinuyu-sistemu-organizacii-deloproizvodstva.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/ponyatie-i-vidi-mishleniya.html
  • spur.bystrickaya.ru/materialnaya-otvetstvennost-rabotodatelya-pered-rabotnikom.html
  • education.bystrickaya.ru/35-dochernie-i-zavisimie-hozyajstvennie-obshestva-emitenta-mesto-nahozhdeniya-emitenta-rossiya-191186-sankt-peterburg.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/priemi-zaversheniya-prodazh-avtorizovannij-konspekt-seminarov-i-treningov-dlya-prodavcov-agentov-kommivoyazherov.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zhila-arnalan-memlekettk-izmet-krsetu-sratari-bojinsha-stbaev-alasi-kmdgn-memlekettk-mekemeler.html
  • crib.bystrickaya.ru/kniga-vtoraya-stranica-10.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/obshestvo-na-stadii.html
  • college.bystrickaya.ru/-predavalas-li-ti-v-prodolzhenie-treh-let-iskusstvu-koldovaniya-stranica-34.html
  • thescience.bystrickaya.ru/jonkoping-international-business-school-jibs.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tajnata-istoriya-na-choveshkata-civilizaciya-skrateno-izdanie-na-zabranenata-arheologiya-majkl-a-kremo-richard-l-tompsn-stranica-12.html
  • abstract.bystrickaya.ru/1-pubertatnij-krizis-psihofiziologicheskoe-razvitie.html
  • znanie.bystrickaya.ru/42-postanovlenie-pravitelstva-rf-ot-29-maya-2002-g-n-364-dlya-kategorij-povisheniya-kvalifikacii-specialisti.html
  • letter.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-rassmotreni-i-odobreni-na-zasedanii-metodicheskoj-komissii-agronomicheskogo-fakulteta-zaochnogo-otdeleniya-protokol-7-ot-26-05-2002-g-avtori-sedlyar-f-f-docent-kafedri-rastenievodstva.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razmishleniya-ob-ejlere-naveyannie-dumami-o-proshlom-v-svete-problemi-ustojchivosti.html
  • crib.bystrickaya.ru/istoriya-okamenelostej-onegger-a-0-584-omuzikalnom-iskusstve-per-s-frkomment-v-n-aleksandrovoj-v-i-bikova.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vliyanie-trevozhnosti-na-uspevaemost-obucheniya-mladshego-shkolnogo-vozrasta.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-ekonomika-otrasli-specialnost.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razdel-ii-uchebnoe-posobie-dlya-vuzov.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.