4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна - Методика оценки коэффициента товаропроводности территории 18 Оценка...
.RU

4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна - Методика оценки коэффициента товаропроводности территории 18 Оценка...


^ 4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна

Модели [14, 16], которые являются отправной точной данных исследований, описаны в виде дифференциальных уравнений. Таким образом, логично искать формализацию торговли также в классе дифференциальных уравнений. В качестве переменных логично выбрать цену и объем товара в точке географического пространства, а также учитывать возможности его производства, потребления и транспортировки, зависящие от пространственных координат.

Задачей формализации торговых потоков, расчетом оптимальных маршрутов и распределением цен, производства и потребления занимается отдельная дисциплина – пространственная экономика. Моделью, наиболее близкой по сути к поставленной нами задаче, является модель предложенная М.Бекманном [17]. Изложим кратко суть этой модели.

Рассматривается замкнутая территория, на которой может производиться, потребляться и транспортироваться товар, рассматривается задача нахождения оптимальных транспортных путей, минимизирующих транспортные издержки.

Математически задача формулируется следующим образом: рассматриваемая территория – область R с кусочно-гладкой границей, для каждой точки которой определены следующие величины (сохранены обозначения и формулировки Бекманна):


q(x, y) – плотность производства в точке,

u(x, y) – плотность потока товара в точке,

v(x, y) – скорость транспортировки в точке

K(x, y, u) – стоимость транспортировки через точку при заданной u.

(4.1)


Граничные условия:


g(x, y) – значение потока товара на границе по нормали.

(4.2)


Причем считается, что q(x, y) не обязательно положительна, поскольку отражает разность между реальным производством и потреблением в точке, стоимость транспортировки товара K(x, y, u) не зависит от направления потока в точке.

Задача формулируется Бекманном как поиск такого векторного поля φ = φ(x, y), соотвествующий потоку товара, такого, что суммарная стоимость транспортировки минимальна. Очевидно, что при этом | φ | = u.


Вводя обозначение

,

(4.3)


и накладывая ограничения


k(x, y, u) > 0,


(4.4)

,

(4.5)


v(x,y) > 0,

(4.6)



задачу минимизации общих транспортных издержек за единицу времени можно записать в виде




(4.7)


Бекманн показывает, что данная минимизация выполняется при условиях


div(v(x,y)φ(x,y)) = q(x,y) (уравнение неразрывности)

(x,y) - регулярная точка R;


(4.8)

v(x,y)φn(x,y) (поток по нормали к кривой) непрерывен

(x,y)  кривой разрыва vφ;


(4.9)



(x,y) – изолированная особая точка поля φ;


(4.10)

v(x,y)φn(x,y) = g(x,y) (граничные условия)

(x,y)  границе Г .


(4.11)


Для существования решения требуется, чтобы поток товара внутрь области был в точности равен потреблению в этой области




(4.12)


Бекманн доказывает теорему:


Поле транспортировки φ(x,y) эффективно (минимизирует издержки) при заданном производстве q(x,y) и граничных условиях на экспорт g(x,y) тогда и только тогда, когда в дополнение к условиям (4.8 – 4.11) выполняется





в точках регулярности φ, для которых |φ(x,y)| > 0, h – некоторая непрерывная кусочно-гладкая потенциальная функция.

(4.13)


Роль этой потенциальной функции в рассматриваемом случае может играть цена за товар в точке. В более поздней и более известной работе [18] Бекманн при описании модели явно выписывает соотношение для оптимальных потоков:


всюду, где φ ≠ 0

(4.14)


Здесь λ – цена на товар в точке. Фактически соотношение (4.13) является ключевым для всей модели. Экономический смысл его прост: в случае, когда имеют место оптимальные потоки, в каждой точке поток направлен по градиенту цены на товар.

Результат модели Бекманна состоит в том, что при заданных q(x,y), g(x,y) можно рассчитать оптимальные потоки φ(x,y), минимизирующие (в рамках модели) издержки на транспортировку. В частности, он приводит иллюстрацию для случая постоянных издержек


k(x, y) = k

(4.15)


Если имеется некоторое количество точек «производителей» (xi,yi), для которых q(xi,yi) = q0 > 0, а для всех остальных точек q(x,y) = q1 < 0, с учетом (4.12), потоки имеют следующую структуру:




Рис. 1. Структура потоков в модели Бекманна для постоянного k


Таким образом, пространство разбивается на кластеры, каждый из которых «обслуживается» одним производителем.


Описанная модель Бекманна действительно достаточно хорошо вписывается в контекст поставленной нами задачи построения базовой пространственной модели торговли, однако она содержит ряд положений и следствий, которые не вполне удовлетворяют сущности исторических процессов, и должна, таким образом, переработана.

Модель Бекманна создавалась в контексте задач пространственной экономики в предположении рыночного равновесия. С математической точки зрения, рассматривается стационарный случай, для которого логически (из предположения, что в оптимальном случае торговцы не должны получать убытки [18, стр.16]) выводится соотношение (4.14). Историческая же модель должна учитывать эволюцию системы, то есть стационарный случай для нее в корне неприемлем. Спорным местом у Бекманна является рассмотренный им случай, когда имеется единичный конечный источник и равный ему по модулю, но обратный по значению сток


q(x1,y1) = – q(x2, y2),


q(x,y) = 0 всюду, кроме (x1, y1) и (x2, y2).

(4.16)


Кроме того, конфигурация k(x,y) такова, что имеется два пути, абсолютно эквивалентные друг другу по затратам (Рис.2)


Для этих путей имеет место соотношение


φ1 + φ2 = 1 φ3 + φ4 = 1 φ1 = φ3 φ2 = φ4

(4.17)



Рис. 2. Два эквивалентных пути


Бекманн утверждает, что в этом случае решением может быть


φ1 = φ* φ3 = φ* φ2 = 1 - φ* φ4 = 1 - φ*


φ* - произвольное значение: 0 ≤ φ* ≤ 1

(4.18)


Однако из той же модели Бекманна следует, что если сколь угодно мало возмутить значение k(x,y) в какой либо точке одного из путей, например, бесконечно мало увеличить стоимость перевозки в одной точке пути (x0, y0):


k(x0, y0)  k(x0, y0) + ε : (x0, y0)  пути φ2, 0 < ε << 1,

(4.19)


то путь φ2-φ4 сразу перестанет быть оптимальным, и значения потоков должны быть строго


φ1 = 1 φ3 = 1 φ2 = 0 φ4 = 0

(4.20)


Подобная негрубость модели фактически подтверждает тот факт, что модель Бекманна – оптимизационная модель, строящая некоторые идеальные стационарные потоки, и что она не может быть напрямую применена для моделирования реальных процессов. В реальности, субъекты торговли никогда не располагают полной и достаточно точной информацией о значениях k(x,y) во всей области R. Таким образом, малое возмущение (4.19) не может мгновенно изменить поток на конечную величину 1 – φ*.


Таким образом, модель, претендующая на описание реальных исторических процессов, должна дополнять модель Бекманна, вводя нестационарность (наличие эволюции во времени) и грубость (малое изменение результирующих потоков при малом возмущении издержек на транспортировку).


Мы построим такую модель, исходя из несколько других начальных предположений, и вводя другие, более привычные для математической физики обозначения, а затем покажем, как она стыкуется с моделью Бекманна.

4-uchastie-vospitannikov-ctdiyu-v-regionalnih-centr-tvorchestva-detej-i-yunoshestva-publichnij-doklad-direktora-centra.html
4-uchebnaya-model-mikrokompyutera-predislovie.html
4-uchebno-metodicheskie-materiali-po-discipline-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-po-discipline-matematika.html
4-uchebno-metodicheskoe-obespechenie-kursa-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-sociologiya-fizicheskoj-kulturi.html
4-uchebno-tematicheskij-plan-disciplini-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-obuchenie-i-vospitanie-doshkolnikov.html
4-uchet-i-kontrol-vipolneniya-rabot-po-tehnicheskomu-obsluzhivaniyu-i-remontu-gorochnih-ustrojstv-scb.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zadachi-najti-i-prochitat-material-po-moej-teme-razobrat-dannij-material.html
  • predmet.bystrickaya.ru/seminar-1-2-chasatema-zakonomernosti-i-principi-obucheniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-teoriya-obucheniya-bijsk.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/voprosi-k-kandidatskomu-ekzamenu-po-specialnosti-12-00-14.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/vklad-v-nauku-dzhejmsa-klerka-maksvella.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-mezhdunarodnih-standartah-osnovnie-voprosi-buhgalterskogo-ucheta-zapasov-nashli-otrazhenie-v-msfo-2-zapasi.html
  • lecture.bystrickaya.ru/arhitektura-oformlenie-i-osnashenie-vistavochnogo-stenda.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obshie-svedenii-ob-eticheskoj-kulture.html
  • spur.bystrickaya.ru/konkursnaya-dokumentaciya-po-provedeniyu-otkritogo-konkursa-282012-na-vipolnenie-funkcij-tehnicheskogo-nadzora-za-kapitalnim-remontom-mnogokvartirnogo-doma.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/strahovoj-menedzhment.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/imushestvennie-prava.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/provoditsya-vserossijskaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-sovremennie-kommunikativnie-tehnologii-v-yazikovom-obrazovanii-v-zaochnoj-forme-s-izdaniem-sbornika-materialov.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-8-administrativnaya-otvetstvennost-za-otdelnie-vidi-administrativnih-pravonarushenij.html
  • school.bystrickaya.ru/kniga-prodolzhaet-seriyu-100-velikih-stranica-49.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/anketa-v-restorane-otelya-slavutich.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-uroka-environmental-problems.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnogo-kursa-mou-russko-aktashskoj-sosh-stranica-3.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programmi-i-proekti-razvitiya-kafedr-fakulteta-visshego-sestrinskogo-obrazovaniya.html
  • reading.bystrickaya.ru/kursovaya-rabota-po-rpves.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/o-priemah-i-metodah-vedeniya-peregovorov-v-biznese-regionalnaya-obshestvennaya-organizaciya-uchenih.html
  • universitet.bystrickaya.ru/theme-method-of-hygienic-assesstment-of-temperature-humidity-conditions-of-room-and-mobility-of-air.html
  • universitet.bystrickaya.ru/trudovie-knizhki-chast-2.html
  • bystrickaya.ru/vodootlivnaya-ustanovka.html
  • institute.bystrickaya.ru/eti-obrazi-svyazani-otchasti-s-srednevekovoj-knizhnoj-literatu-vstuplenie.html
  • student.bystrickaya.ru/3-reformatorstvo-feofana-prokopovicha-i-borba-protiv-protestantstva-programma-russkoj-reformacii-r.html
  • teacher.bystrickaya.ru/eshe-nichej-v-ego-obitel-razvitie-i-stanovlenie-gosudarstvennosti-naroda-russkogo-i-narodov-sssr-v-globalnom-istoricheskom.html
  • knigi.bystrickaya.ru/saprutova-v-nazvanie-knigi.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pozharnie-evakuiruyut-posetitelej-rinka-vozle-metro-domodedovskaya-na-yuge-moskvi-mchs-informacionnoe-agentstvo-ria-novosti-17022011.html
  • thesis.bystrickaya.ru/programma-disciplini-finansovij-menedzhment-dlya-napravleniya-080700-68-biznes-informatika.html
  • abstract.bystrickaya.ru/12-o-prevrashenii-litoj-stali-v-bulat-o-bulatah.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/voprosi-dlya-podgotovki-k-ekzamenu-po-uchebnoj-discipline-bankovskoe-pravo.html
  • knigi.bystrickaya.ru/skazka-v-bianki-lesnoj-kolobok-kolyuchij-bok.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/seminar-otpusk-2012-problemnie-voprosi-predostavleniya-raschet-otpusknih-otrazhenie-v-buhgalterskom-uchete-tipichnie-oshibki.html
  • abstract.bystrickaya.ru/-25-gazovshik-spravochnika-rabot-i-professij-rabochih-vipusk-1.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/razrabotchiki-programmi-povisheniya-kvalifikacii-kislyakov-v-e-d-t-n-prof-prof.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-a-i-kravchenko-obshestvoznanie-uchebnik-a-i-kravchenko-obshestvoznanie-6-klass-tema-kak-mozhno-zashititsya-ot-nespravedlivosti-urok-izucheniya-novogo-materiala.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.