.RU

4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна - Методика оценки коэффициента товаропроводности территории 18 Оценка...


^ 4. Непрерывная модель транспортировок Бекманна

Модели [14, 16], которые являются отправной точной данных исследований, описаны в виде дифференциальных уравнений. Таким образом, логично искать формализацию торговли также в классе дифференциальных уравнений. В качестве переменных логично выбрать цену и объем товара в точке географического пространства, а также учитывать возможности его производства, потребления и транспортировки, зависящие от пространственных координат.

Задачей формализации торговых потоков, расчетом оптимальных маршрутов и распределением цен, производства и потребления занимается отдельная дисциплина – пространственная экономика. Моделью, наиболее близкой по сути к поставленной нами задаче, является модель предложенная М.Бекманном [17]. Изложим кратко суть этой модели.

Рассматривается замкнутая территория, на которой может производиться, потребляться и транспортироваться товар, рассматривается задача нахождения оптимальных транспортных путей, минимизирующих транспортные издержки.

Математически задача формулируется следующим образом: рассматриваемая территория – область R с кусочно-гладкой границей, для каждой точки которой определены следующие величины (сохранены обозначения и формулировки Бекманна):


q(x, y) – плотность производства в точке,

u(x, y) – плотность потока товара в точке,

v(x, y) – скорость транспортировки в точке

K(x, y, u) – стоимость транспортировки через точку при заданной u.

(4.1)


Граничные условия:


g(x, y) – значение потока товара на границе по нормали.

(4.2)


Причем считается, что q(x, y) не обязательно положительна, поскольку отражает разность между реальным производством и потреблением в точке, стоимость транспортировки товара K(x, y, u) не зависит от направления потока в точке.

Задача формулируется Бекманном как поиск такого векторного поля φ = φ(x, y), соотвествующий потоку товара, такого, что суммарная стоимость транспортировки минимальна. Очевидно, что при этом | φ | = u.


Вводя обозначение

,

(4.3)


и накладывая ограничения


k(x, y, u) > 0,


(4.4)

,

(4.5)


v(x,y) > 0,

(4.6)



задачу минимизации общих транспортных издержек за единицу времени можно записать в виде




(4.7)


Бекманн показывает, что данная минимизация выполняется при условиях


div(v(x,y)φ(x,y)) = q(x,y) (уравнение неразрывности)

(x,y) - регулярная точка R;


(4.8)

v(x,y)φn(x,y) (поток по нормали к кривой) непрерывен

(x,y)  кривой разрыва vφ;


(4.9)



(x,y) – изолированная особая точка поля φ;


(4.10)

v(x,y)φn(x,y) = g(x,y) (граничные условия)

(x,y)  границе Г .


(4.11)


Для существования решения требуется, чтобы поток товара внутрь области был в точности равен потреблению в этой области




(4.12)


Бекманн доказывает теорему:


Поле транспортировки φ(x,y) эффективно (минимизирует издержки) при заданном производстве q(x,y) и граничных условиях на экспорт g(x,y) тогда и только тогда, когда в дополнение к условиям (4.8 – 4.11) выполняется





в точках регулярности φ, для которых |φ(x,y)| > 0, h – некоторая непрерывная кусочно-гладкая потенциальная функция.

(4.13)


Роль этой потенциальной функции в рассматриваемом случае может играть цена за товар в точке. В более поздней и более известной работе [18] Бекманн при описании модели явно выписывает соотношение для оптимальных потоков:


всюду, где φ ≠ 0

(4.14)


Здесь λ – цена на товар в точке. Фактически соотношение (4.13) является ключевым для всей модели. Экономический смысл его прост: в случае, когда имеют место оптимальные потоки, в каждой точке поток направлен по градиенту цены на товар.

Результат модели Бекманна состоит в том, что при заданных q(x,y), g(x,y) можно рассчитать оптимальные потоки φ(x,y), минимизирующие (в рамках модели) издержки на транспортировку. В частности, он приводит иллюстрацию для случая постоянных издержек


k(x, y) = k

(4.15)


Если имеется некоторое количество точек «производителей» (xi,yi), для которых q(xi,yi) = q0 > 0, а для всех остальных точек q(x,y) = q1 < 0, с учетом (4.12), потоки имеют следующую структуру:




Рис. 1. Структура потоков в модели Бекманна для постоянного k


Таким образом, пространство разбивается на кластеры, каждый из которых «обслуживается» одним производителем.


Описанная модель Бекманна действительно достаточно хорошо вписывается в контекст поставленной нами задачи построения базовой пространственной модели торговли, однако она содержит ряд положений и следствий, которые не вполне удовлетворяют сущности исторических процессов, и должна, таким образом, переработана.

Модель Бекманна создавалась в контексте задач пространственной экономики в предположении рыночного равновесия. С математической точки зрения, рассматривается стационарный случай, для которого логически (из предположения, что в оптимальном случае торговцы не должны получать убытки [18, стр.16]) выводится соотношение (4.14). Историческая же модель должна учитывать эволюцию системы, то есть стационарный случай для нее в корне неприемлем. Спорным местом у Бекманна является рассмотренный им случай, когда имеется единичный конечный источник и равный ему по модулю, но обратный по значению сток


q(x1,y1) = – q(x2, y2),


q(x,y) = 0 всюду, кроме (x1, y1) и (x2, y2).

(4.16)


Кроме того, конфигурация k(x,y) такова, что имеется два пути, абсолютно эквивалентные друг другу по затратам (Рис.2)


Для этих путей имеет место соотношение


φ1 + φ2 = 1 φ3 + φ4 = 1 φ1 = φ3 φ2 = φ4

(4.17)



Рис. 2. Два эквивалентных пути


Бекманн утверждает, что в этом случае решением может быть


φ1 = φ* φ3 = φ* φ2 = 1 - φ* φ4 = 1 - φ*


φ* - произвольное значение: 0 ≤ φ* ≤ 1

(4.18)


Однако из той же модели Бекманна следует, что если сколь угодно мало возмутить значение k(x,y) в какой либо точке одного из путей, например, бесконечно мало увеличить стоимость перевозки в одной точке пути (x0, y0):


k(x0, y0)  k(x0, y0) + ε : (x0, y0)  пути φ2, 0 < ε << 1,

(4.19)


то путь φ2-φ4 сразу перестанет быть оптимальным, и значения потоков должны быть строго


φ1 = 1 φ3 = 1 φ2 = 0 φ4 = 0

(4.20)


Подобная негрубость модели фактически подтверждает тот факт, что модель Бекманна – оптимизационная модель, строящая некоторые идеальные стационарные потоки, и что она не может быть напрямую применена для моделирования реальных процессов. В реальности, субъекты торговли никогда не располагают полной и достаточно точной информацией о значениях k(x,y) во всей области R. Таким образом, малое возмущение (4.19) не может мгновенно изменить поток на конечную величину 1 – φ*.


Таким образом, модель, претендующая на описание реальных исторических процессов, должна дополнять модель Бекманна, вводя нестационарность (наличие эволюции во времени) и грубость (малое изменение результирующих потоков при малом возмущении издержек на транспортировку).


Мы построим такую модель, исходя из несколько других начальных предположений, и вводя другие, более привычные для математической физики обозначения, а затем покажем, как она стыкуется с моделью Бекманна.

4-uchastie-vospitannikov-ctdiyu-v-regionalnih-centr-tvorchestva-detej-i-yunoshestva-publichnij-doklad-direktora-centra.html
4-uchebnaya-model-mikrokompyutera-predislovie.html
4-uchebno-metodicheskie-materiali-po-discipline-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-po-discipline-matematika.html
4-uchebno-metodicheskoe-obespechenie-kursa-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-sociologiya-fizicheskoj-kulturi.html
4-uchebno-tematicheskij-plan-disciplini-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-obuchenie-i-vospitanie-doshkolnikov.html
4-uchet-i-kontrol-vipolneniya-rabot-po-tehnicheskomu-obsluzhivaniyu-i-remontu-gorochnih-ustrojstv-scb.html
  • desk.bystrickaya.ru/perestrojka-stalina-i-po-sej-den-yavlyaetsya-tajnoj-v-knige-mi-ee-rassmotrim-i-podtverdim-vo-vseh-vozmozhnih-podrobnostyah-kotorie-sami-po-sebe-v-otdelnosti-yav-stranica-29.html
  • college.bystrickaya.ru/1obshaya-harakteristika-specialnosti-040104-organizaciya-raboti-s-molodezhyu-stranica-2.html
  • education.bystrickaya.ru/26-likvidaciya-mediko-sanitarnih-posledstvij-pri-zemletryaseniyah-uchyonij-i-praktik-polkovnik-medicinskoj-sluzhbi.html
  • school.bystrickaya.ru/hazarskaya-legenda-i-eyo-mesto-v-russkoj-istoricheskoj-pamyati.html
  • spur.bystrickaya.ru/korol-narodnaya-igra-slovesnie-igri-postroeni-na-slovah-i-dejstviyah-igrayushih-vtakih-igrah-deti-uchatsya-opirayas.html
  • gramota.bystrickaya.ru/xiv-metalog-eto-ne-zdes-mkb-sokrashennij-perevod-s-anglijskogo-v-kotlyara-m-tehnologicheskaya-shkola-biznesa-1994-216-s.html
  • letter.bystrickaya.ru/obuchenie-pereskazu-kak-odnomu-iz-priemov.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-ustrojstva-elektroustanovok-v-red-prikaza-minenergo-sssr-ot-01-08-1988-n-376-reshenij-mintopenergo-rf-ot-24-07-1996-stranica-11.html
  • letter.bystrickaya.ru/molodezhnij-konkurs-smotr-stroya-i-pesni-protokol-konkurs-smotr-stroya-i-pesni-70-letiyu-pobedi-v-bitve-pod-moskvoj.html
  • bukva.bystrickaya.ru/sir-arthur-conan-doyle-sir-nigel-1906-stranica-18.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-teoriya-i-istoriya-tradicionnogo-prikladnogo-iskusstva-specialnost.html
  • letter.bystrickaya.ru/mihail-mihajlovich-ferin-rodilsya-v-1956-godu-v-gorode-tule-v-seme-voennosluzhashego-zatem-zhil-v-ryazani-tam-zakonchil-srednyuyu-shkolu-uchilsya-s-1974-po-1978-g-g-v-stranica-9.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/punkt-1-povestki-dnya-otkritie-soveshaniya-doklad-o-rabote-vtorogo-soveshaniya-specialnoj-rabochej-gruppi-otkritogo.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zdorovij-duh-i-zdorovoe-telo.html
  • shkola.bystrickaya.ru/uchebnik-stranica-21.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-informacionnaya-ekologiya-blok-obsheprofessionalnih-disciplin-opd.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/priglashaem-stranica-4.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vozmozhnost-uchastiya-v-telekonferenciyah-konferenc-svyaz-besprovodnoj-planshet-hitachi.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-3-obespechenie-bezopasnosti-lyudej-na-vodnih-obektah-gosudarstvennij-doklad.html
  • credit.bystrickaya.ru/opit-priznan-uspeshnim-rossijskaya-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prikaz-stranica-2.html
  • writing.bystrickaya.ru/bolezni-organov-dihaniya1-adenoidi-uvelichenie-mindalin-stranica-4.html
  • pisat.bystrickaya.ru/svetloj-pamyati-petra-dmitrievicha-kavolina-posvyashaetsya-eta-kniga-poletdrakon-a.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-6-rezultati-issledovatelskoj-raboti-uchashihsya-publichnij-doklad.html
  • desk.bystrickaya.ru/otrasli-i-sferi-deyatelnosti-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-ds-f-06-marketing-v-otraslyah-i-sferah-deyatelnosti.html
  • lesson.bystrickaya.ru/perechen-rabochih-mest-dlya-territorii-vseleniya-gorod-achinsk-programma-krasnoyarskogo-kraya-po-okazaniyu-sodejstviya.html
  • grade.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-kraschetno-graficheskoj-rabote-po-soprotivleniyu-materialov-dlya-studentov-specialnostej-1-74-06-01-tehnicheskoe-obespechenie-processov-selskohozyajstvennogo-proizvodstva.html
  • student.bystrickaya.ru/29sdelki-ss-svrzani-lica-otchet-za-dohodite-62.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravo-sobstvennosti-na-sozdannie-obekti-nedvizhimogo-imushestva-registriruetsya-na-osnovanii-dokumentov-podtverzhdayushih-fakt-ih-sozdaniya-pri-gosudarstvennoj-regi.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-speckursa-40-chasov-tema-kulturno-dosugovaya-deyatelnost-detej-i-podrostkov.html
  • spur.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-teme-smert-i-umiranie-evtanaziya.html
  • desk.bystrickaya.ru/otchetnost-microsoft-dynamics-nav-kompaniya-icf.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1-mesto-mikrobiologii-i-immunologii-v-sovremennoj-medicine-rol-mikrobiologii-i-immunologii-v-podgotovke-vrachej-klinicistov-i-vrachej-profilakticheskoj-sluzhbi-stranica-16.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/referat-novij-vzglyad-na-ispolzovanie-atomnoj-energetiki.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-2-problemi-mezhdunarodnoj-migracii-rabochej-sili-dannogo-referata-prichini-i-problemi-mezhdunarodnoj-migracii.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.