.RU

4. Построение базисных координатных функций в МКЭ - Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией...


^ 4. Построение базисных координатных функций в МКЭ 4.1. Основные требования к координатным функциям в МКЭ

Первым и вероятно наиболее ответственным шагом построения конкретных методик решения задач на основе МВН в форме МКЭ является выбор базисных функций используемых конечных элементов. Очевидно, что для получения качественного решения такие функции должны удовлетворять определенным требованиям, обеспечивающим сходимость КЭ решений [2-4]. Часть таких требований была сформулирована в предыдущей главе для базисных функций в МВН, а именно:

- функции должны быть линейно независимы;

-функции должны удовлетворять условиям полноты.

В МКЭ кусочно-определенные базисные функции также должны удовлетворять условиям непрерывности - иметь непрерывные производные до порядка S-1, где S - максимальный порядок производных, входящих в подынтегральные выражения МВН.

Кроме этого к координатным функциям в МКЭ предъявляется еще ряд специфических требований, среди которых важнейшими являются следующие:

- функции должны быть согласованы с формой КЭ, числом и расположением степеней свободы в элементе. Число степеней свободы элемента должно соответствовать числу неопределенных параметров в полиномиальном представлении функции;

- представление функции в элементе должно быть инвариантным для ортогональных преобразований системы координат (геометрическая изотропия); кроме этого, полнота полиномиального представления функции вдоль любой границы или ребра элемента должна быть того же порядка, что и внутри элемента;

- полином, аппроксимирующий функции в элементе, должен быть полным как минимум до степени , где - наивысший порядок производной, входящий в подынтегральное выражение; при наличии членов, соответствующих неполным полиномам высших порядков, предпочтение следует отдавать удержанию членов при более низких степенях.

С учетом перечисленных требований в настоящее время предложен целый ряд различных способов построения базисных конечных элементов различных типов, форм и различных порядков распределения функций в элементах. Некоторые из таких способов рассмотрены в приведенных ниже разделах.

^ 4.2. Построение базисных функций конечных элементов в обобщенных координатах

Наиболее естественным образом базисные функции элементов могут быть получены на основе решения системы алгебраических уравнений для значений выбранного степенного полинома в узлах элемента. Этот подход является достаточно общим, применим для любых типов элементов и законов распределения функций и носит название «базисные функции в обобщенных координатах» [5]. Основные этапы применения этого подхода удобнее продемонстрировать на примере построения функций формы четырехузлового прямоугольного элемента (см. рис.4.1).

Закон изменения функции u(x,y) в таком элементе может быть записан в виде степенного полинома


,

или

, (4.1)

{aT}=(a0 a1 a2 a3)


Далее составляется система алгебраических уравнений для значений функции в узлах элемента

, (4.2)

,





Рис. 4.1. Схема четырехузлового прямоугольного элемента





Неопределенные параметры выражаются через узловые функции элемента





В результате функции формы элемента могут быть получены в виде


(4.3)

.


Одним из основных недостатков рассмотренного подхода является необходимость обращения матрицы для каждого конечного элемента исследуемой области. В случае использования полиномов выше первого порядка обращение этой матрицы в явном виде представляется весьма сложным и приходится применять численные процедуры. Кроме этого при использовании неполных полиномов выполнение условий межэлементной совместности функций, построенных на основе рассмотренного подхода, не является очевидным. Для выяснения этих условий следует записать закон распределения функций для каждой из сторон (граней) на основе принятого распределения в элементе и установить соответствие между числом неопределенных параметров в получающемся распределении с числом узловых значений функций на рассматриваемой стороне. Например, в представленном на рис.4.2 четырехугольном конечном элементе с билинейным законом распределения функций (4.1) непрерывность функции u(x,y) вдоль сторон 1-2 и 2-3 будет выполняться по разному. Если в элементе ввести локальные координаты и направленные вдоль первой и второй сторон соответственно, то связь этих координат с общими декартовыми координатами x,y можно представить в виде




.





Рис. 4.2. Схема четырехузлового непрямоугольного элемента


Тогда изменения функции и вдоль сторон S1 и S2 могут быть определены подстановкой этих выражений в соотношения (4.1)










.


Вдоль первой стороны функция меняется линейно, и параметры и могут быть однозначно определены через узловые функции и , т.е. условия непрерывности выполняются.

Вдоль второй стороны меняется по квадратичному закону и для определения трех параметров и недостаточно двух узловых значений функций и . Поэтому, в общем случае условия непрерывности вдоль этой стороны будут нарушены. Однако при параметр обращается в ноль и оставшиеся параметры могут быть однозначно определены узловыми значениями функций и .

Таким образом, непрерывность функций, определенных в четырехугольных элементах соотношениями (4.1), будет выполняться лишь для прямоугольных элементов, стороны которых параллельны осям координат. Такая же ситуация характерна для всех моделей конечных элементов, в которых используются для аппроксимации функций неполные полиномы.

Нетрудно показать, что для треугольных конечных элементов при использовании для аппроксимации функций полных полиномов условия межэлементной совместности будут выполняться для всех сторон, вне зависимости их ориентации по отношению к осям координат.


45-nachala-termodinamiki-entropiya-i-veroyatnost-princip-bolcmana-v-m-titov-institut-gidrodinamiki-im-m-a-lavrenteva.html
45-normi-sovremennogo-russkogo-literaturnogo-yazika-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-russkij-yazik.html
45-obshaya-ocenka-urovnya-zhizni-predmet-zadachi-i-organizaciya-socialnoj-statistiki-3.html
45-opredelenie-prochnosti-betona-rekomendacii-po-obsledovaniyu-i-monitoringu-tehnicheskogo-sostoyaniya-ekspluatiruemih.html
45-organizaciya-uchebnoj-praktiki-studentov-otchet-federalnogo-gosudarstvennogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
45-osobennosti-licenzirovaniya-deyatelnosti-uchebnik-m-m-brinchuk.html
  • holiday.bystrickaya.ru/mezhdunarodnoe-pravo-kak-osobaya-pravovaya-sistema.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/psihologicheskie-mehanizmi-adaptacionnogo-povedeniya-lichnosti.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-12-pravda-i-lozh-o-sovetskih-voennoplennih-lyuboj-uvazhayushij-sebya-narod-obyazatelno-imeet-svoi-svyatini-dlya.html
  • textbook.bystrickaya.ru/istoriya-stanovleniya-i-razvitiya-informacionnih-processov-v-sovremennom-kazahstane-07-00-02-otechestvennaya-istoriya-istoriya-respubliki-kazahstan.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/58-kapillyarnij-i-magnitoporoshkovij-kontrol-pravila-ustrojstva-i-bezopasnoj-ekspluatacii-parovih-i-vodogrejnih.html
  • crib.bystrickaya.ru/gumanitarnoe-obrazovanie-proekta.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/deyatelnost-sportivnogo-arbitrazhnogo-suda.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-2--peredadim-rebenku-otvetstvennost-za-ego-sobstvennuyu-zhizn-vash-bespokojnij-podrostok-prakticheskoe-rukovodstvo.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vrednie-himicheskie-veshestva.html
  • college.bystrickaya.ru/11-vvedenie-otchet-o-rezultatah-samoobsledovaniya-fakulteta-politicheskih-i-socialnih-nauk-po-sostoyaniyu-na-01-06-2008-goda.html
  • letter.bystrickaya.ru/moskovskogo-oblastnogo-konkursa.html
  • uchit.bystrickaya.ru/sushnost-i-yavlenie.html
  • report.bystrickaya.ru/informaciya-dlya-vklyucheniya-v-publichnij-doklad-doshkolnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-sostavlena-v-sootvetstvii-s-trebovaniyami-fgos-vpo-s-uchetom-rekomendacij-proop-vpo-po-napravleniyu-ekonomika.html
  • lecture.bystrickaya.ru/artur-tabolov-vodyara-stranica-7.html
  • control.bystrickaya.ru/chast-i-konkurs-razdel-i1-priglashenie-k-uchastiyu-v-konkurse-konkursnaya-dokumentaciya-po-provedeniyu-otkritogo.html
  • reading.bystrickaya.ru/magisterskie-programmi-v-oblasti-informacionnih-tehnologij-dlya-bakalavrov-i-specialistov-tehnicheskih-i-estestvennonauchnih-neprofilnih-napravlenij.html
  • thesis.bystrickaya.ru/poyasnitelnaya-zapiska-k-rabochej-programme-po-inostrannomu-yaziku-dlya-5-klassa.html
  • nauka.bystrickaya.ru/v-monografiyah-finno-ugorskie-zaimstvovaniya-v-tatarskom-yazike-sinopsis-i-taksonomiya.html
  • shpora.bystrickaya.ru/vserossijskaya-nauchno-tehnicheskaya-konferenciya-s-elementami-molodezhnoj-shkoli.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/azastan-respublikasi-atinan.html
  • books.bystrickaya.ru/docent-l-n-borovih-sbornik-statej-posvyashen-nauchnim-i-metodicheskim-issledovaniyam-po-problemam-rossijskogo-obshestva.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kniga-izvestnogo-amerikanskogo-lingvista-yavlyaetsya-odnim-iz-fundamentalnih-trudov-polozhivshih-nachalo-kognitivnomu-napravleniyu-v-lingvistike-i-kognitivizmu-v-celom-stranica-4.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tvorchestvo-samuila-yakovlevicha-marshaka.html
  • klass.bystrickaya.ru/5-virazhenie-bozhestvennogo-energopole-duha-vozneseniya-mi-bistro-razrabotali-sposob-napisaniya-kazhdij-seans-ya.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zadanie-tipovih-svojstv-ge-metodika-vipolneniya-raboti-izuchit-teoreticheskie-svedeniya-o-scada-sisteme-trace-mode.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-raboti-pedagogicheskogo-kollektiva-stranica-5.html
  • occupation.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-prohozhdeniyu-kvalifikacionnoj-praktiki-i-preddiplomnoj-praktiki-stazhirovki-studentami-vseh-form-obucheniya-specialnosti.html
  • universitet.bystrickaya.ru/sroki-priema-dokumentov-na-baze-9-kl-s-1406-po-3007-na-baze-11-kl-s-1406-po1308.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kniga-vtoraya-aforizmov-ob-istolkovanii-prirodi-ili-ocarstve-cheloveka-stranica-39.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/oboznachat-ego-uslovnim-znakom-tochkoj-orientirovatsya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zao-vostok-specialnie-sistemi-zamestitel-generalnogo-direktora-apet-aleksandr.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vertolet-mchs-prisoedinilsya-k-poiskam-sudna-ametist-s-23-ribakami-na-bortu-informacionnoe-agentstvo-nakanuneru-16022011.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/analiticheskaya-geometriya-dekarta-i-problemi-filosofii-tehniki.html
  • exam.bystrickaya.ru/vladimir-beshanov-tankovij-pogrom-1941-goda.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.